Toggle Dark Mode

L'Art de bien mélanger un deck

Jérémy B. alias Zombie33 est joueur de Magic depuis 2002 où il débute avec les fameux zombies du bloc Carnage. Il est très impliqué dans la promotion du format Peasant, format pour lequel il organise des tournois et a participé pendant plusieurs années à la conception de la Ban List. Étant aussi professeur de mathématiques, ses articles sont souvent reliés à cette discipline.

L'objectif de cet article est de détailler les mathématiques derrière les mélanges, que ce soit avec des cartes réelles ou virtuelles via les plateformes de jeu en ligne telles que Cockatrice, MTGO ou encore Magic Arena.

Le mélange de cartes, que ce soit dans la vie réelle ou lors de parties simulées par ordinateur, est un sujet qui a fait l’objet de nombreuses études en mathématiques et en algorithmique. Cependant, la plupart des articles de vulgarisations que l’on peut trouver sur le sujet sont souvent succints et ne traitent dans leurs exemples que des jeux de 32 et 52 cartes alors que nous mélangeons des bibliothèques de toutes tailles.

Comment sont effectués les mélanges sur les plateformes de jeu en ligne ?

Le mélange de cartes Magic par les plateformes de jeu en ligne revient à numéroter les cartes et d'effectuer des permutations entre ces numéros. Voici l'ensemble des six permutations possibles pour un ensemble de trois cartes :

Le nombre de permutations augmente de manière exponentielle selon le nombre de cartes dans un deck : dix permutations pour quatre cartes, quinze pour cinq, vingt-et-une pour six, ...

On appelle mélangeur parfait un mélangeur qui associe à chacunes de ces permutations la même probabilité. Il faut donc être en mesure de déterminer le nombre de ces permutations. Pour un deck de soixante cartes, le nombre de permutations possibles est supérieur au nombre d'atomes dans l'univers : 8320987112741390144276341183223364380754172606361245952449277696409600000000000000. L'objectif est donc de se rapprocher autant que possible de ce mélangeur parfait.

Un algorithme ne peut pas générer de phénomènes aléatoires car il est déterministe. Il peut seulement générer des résultats très difficilement prévisibles et en apparence aléatoire. C'est le cas des algorithmes utilisés sur les plateformes de jeux en ligne. Ces algorithmes sont suffisamment performants pour être considérés comme suffisamment aléatoires.

La suite de l'article permettra de mettre en évidence un moyen de mesurer cet aspect suffisamment aléatoire mais ne traitera pas du biais cognitif existant chez les joueuses et les joueurs qui estiment avoir trop fréquemment des soucis de distribution de terrains dans leur deck.

Pour illustrer le propos, le graphique ci-dessous décrit la probabilité d'avoir un certain nombre de terrains en main de départ avec un deck de 60 cartes contenant 24 terrains. Ce graphique a été obtenu avec un calcul de probabilité selon une pour les valeurs bleues (c'est à dire pour un mélangeur parfait) et les valeurs rouges ont été obtenues avec 13000 mains de départ obtenues sur MTGO.

Comment bien mélanger son deck ?

Cette section passe en revue certains types de mélanges pour voir lesquels sont efficaces et lesquels ne le sont pas. Un des mélanges présentés ici peut être détourné et servir de moyen de tricher pour un joueur ou une joueuse mal intentionnée.

Le mélange américain

Ce mélange consiste à séparer le tas de cartes en deux paquets approximativement égaux puis de former un troisième paquet de cartes en alternant approximativement les cartes de chaque paquet. L'aléatoire du mélange vient du fait que toutes les manipulation sont approximatives. Il existe plusieurs méthodes pour effectuer ce mélange :

Après avoir effectué plusieurs fois ce mélange, le paquet est considéré comme étant bien mélangé. Tout réside dans le sens que l'on donne à « plusieurs ».

Tour de magie

Voici tour de magie imaginé au début du XXème siècle par deux magiciens Williams et Jordan.

Le tour consiste à demander à une personne de prendre un jeu de cartes puis d'effectuer successivement une coupe, un riffle shuffle, une coupe, un riffle shuffle et terminer par une coupe. Puis cette personne doit piocher une carte et la remettre au hasard dans le paquet. Le magicien se saisit alors du jeu et étale le paquet face visible devant lui et après un temps de réflexion fini par retrouver la carte choisie, en moyenne 9 fois sur 10.

Cela demande évidemment un entrainement particulier mais rien d'extraordinaire. Le magicien doit au préalable avoir appris l’ordre initial des cartes et savoir quoi regarder. Au final, le point important dans cet exemple est que si l’on n’apporte pas suffisamment de chaos à un système ordonné au préalable, il est toujours possible de tirer des informations du mélange obtenu avec une marge d’erreur qui peut être étonnamment faible.

La question qui se pose est alors la suivante : Combien de fois donc doit on effectuer de mélange américain pour obtenir une répartition « suffisamment » aléatoire pour rendre toute triche impossible ?

La réponse à cette question a été apportée assez récemment, en 1992, par un mathématicien du nom de Persi Diaconis qui fut auparavant un magicien professionnel. Pour répondre à cette question, Diaconis introduit un moyen de mesurer l’écart entre un mélangeur donné et le mélangeur parfait que l’on désire obtenir. Cet indicateur est un nombre entre 0 et 1 et plus il est proche de 0, plus notre mélange est efficace. Sachant cela, voici les courbes que fournit cet indicateur lorsque varie le nombre de mélanges américains.

Ce graphique est obtenu à l’aide des probabilités exactes et théorique et non d’un générateur aléatoire.

Les premiers mélanges effectués n’ont quasiment aucun effet sur l'indicateur. Pour être « suffisamment » mélangé, il faut que l'indicateur soit au plus égal à 0,5, ce qui revient à mélanger au moins 6, 7 ou 8 fois pour des jeux ayant respectivement 40, 60 et 99 cartes.

Cela peut paraitre beaucoup et fastidieux mais voici un exemple concret de tricherie difficilement repérable, réalisable lorsqu’on ne mélange pas suffisamment un jeu et qui ne demande ni une adresse ni une mémoire excessive.

Un mélange bien ordonné

Au milieu d’une partie de Magic, un effet permet de chercher une certaine carte dans la bibliothèque, d'une taille d'environ 50 cartes. Le joueur se saisit alors de son deck à l’envers et le parcourt jusqu’à trouver la carte recherchée. Lors de cette opération, il doit compter 8 cartes puis retenir les 5 suivantes. Quand il a trouvé la carte recherchée, il effectue un seul mélange américain et pose le deck devant votre adversaire pour qu’il le coupe. Si l’adversaire effectue une simple coupe machinalement, il l’effectuera approximativement au milieu. Les cinq cartes alors retenues devraient parvenir assez tôt par la suite dans l’ordre inverse dans lequel elle ont été mémorisées et chacune séparée approximativement par une carte. Cela n’a l’air de rien, mais cela fournit assez facilement beaucoup d’informations au joueur.

Le mélange Français

Le mélange français, Overhand Shuffle, ainsi que le mélange indien, Indian Shuffle, consistent à séparer le paquet de cartes en un nombre aléatoire de paquets puis à inverser leur ordre. La seule chose qui différencie le mélange français et le mélange indien est la manière d'exécuter ce mélange mais le résultat est essentiellement le même.

En utilisant l’indicateur donné plus haut, le nombre de mélanges français nécessaires pour générer un mélange aléatoire est de l’ordre de 10 000. Il s’agit donc clairement d’un mélange à éviter pour bien mélanger un paquet et il faut de même se méfier grandement des adversaires qui utilisent ce mélange lors des tournois importants. En effet, ce type de mélange peut être détourné assez facilement pour effectuer un ordonnancement du paquet lors du mélange, le stackage.

Le stackage est une technique assez répandue qui consiste, durant le mélange d'un paquet, à en observer la carte la plus basse et ensuite à choisir de mettre cette carte au dessus du paquet ou non. L'utilisation la plus fréquente revient à organiser les cartes du dessus du paquet pour que l'adversaire se retrouve dans une situation où il ne soit pas possible de garder la main et de procéder à un mulligan. Une simple coupe permet de casser ce tri.

Le mélange par tas

Le mélange par tas consiste à faire un certain nombre de tas de cartes (entre 3 et 7 généralement), à les remplir alternativement en suivant un ordre cyclique, puis à les rassembler dans l'ordre inverse où ils ont été créés (premier tas en dernière position, second tas en avant dernière position, etc). Il s'agit d'un mélange populaire parmi les joueurs et joueuses de Magic et d'autres jeux de cartes à collectionner.

Il ne s'agit pas d'un mélange à proprement parler. En effet, cette manipulation du paquet résulte dans un nouvel ordre des cartes. Cet ordre peut être déterminé d'après les manipulations précédentes. C'est pourquoi ce type de manipulation doit toujours être combiné à une série de mélanges américains. L'utilisation seule de ces manipulations fait, par exemple, que les première et dernière cartes sont permutées à chaque itération ; deux itérations et la carte du dessus restera la même.

En résumé, cette manipulation doit toujours être accompagnée d’une série classique de mélanges américains. Mais même dans ce cas de figure, elle n’apporte rien d’un point de vu strictement mathématique. C’est d’ailleurs assez compréhensible étant donné que ces manipulations suivent clairement un schéma prédéfini qui n’a absolument rien d’aléatoire.

Malgré cela, ce « mélange » est très répandu parmi les joueurs de Magic et d'autres jeux de cartes à collectionner mais on ne retrouve pas cette pratique au Poker ou au Bridge, par exemple. En effet, les cartes à collectionner ne sont pas faites pour être mélangées un grand nombre de fois : elles sont chères et s'abîment très vite. Par conséquence, les joueurs utilisent des protections pour leurs cartes. Cependant ces dernières ont tendance à coller les unes aux autres, ce qui crée un biais qui n'est absolument pas négligeable lorsqu'on effectue un mélange américain. Le seul intérêt d'un « mélange » par tas est de séparer toutes les cartes une à une pour s’assurer que deux cartes précédemment voisines ne le restent pas après mélange.

Le mélange Faro

Le Faro est un mélange qui est souvent confondu avec le mélange américain mais son intérêt est toutefois très différent : le Faro est un mélange américain parfait. Le paquet de cartes est coupé en deux paquets égaux qui sont rassemblés en alternant exactement les cartes de chaque paquet une par une. Ce mélange parfait est appelé le Faro et il en existe deux : In Faro (IF) pour lequel la première carte du paquet reste à la même position et Out Faro (OF) pour lequel la première carte arrive en seconde position.

Le Faro, aussi appelé Pharaon, était un jeu d'argent populaire au XVIIIème siècle et c'est justement pour ce jeu qu'à été décrit pour la première fois dans un écrit anonyme de 1726, cette méthode comme moyen de tricher. Le principal but de cette opération n’est absolument pas de mélanger le jeu de cartes, mais bel est bien de tricher, de faire croire aux autres personnes que le deck est mélangé alors qu’il ne l’est absolument pas. Il existe de nombreux tours de prestidigitation avec des jeux de 32 cartes qui reposent sur ce type de manipulation.

En pratique, un Faro n’est pas réalisable en quelques seconde sur des cartes Magic avec des protèges cartes. Toutefois, il n’est pas exclu que cela soit faisable par un prestidigitateur aguerri avec un paquet de quarante cartes neuves sans protection. À partir de là, un joueur qui maîtriserait cette manipulation pourrait effectuer les manipulations décrites ci-dessous :

Si on effectue deux manipulations successives qui classe le deck en sens inverse, cela revient à ne pas mélanger son jeu.

Ce qu'il faut retenir